No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales,
esta es la hipótesis del continuo. Y es indecidible, lo cual significa
que no se puede decidir si es verdadera o falsa en base a axiomas en los
que se funda. Es decir que se puede establecer dicho axioma o justo el
contrario en matemáticas, y nos podemos quedar tan agustito.Y nos
podemos quedar tan agustito por que las mates seguirían siendo
consistentes. Esto demuestra cuán rigurosa es esta rama del saber (iba a
decir ciencia, pero no, no es ciencia).
Creo que ya lo dijo
Beltrand Russell, " La matemática es esa cosa en la que no se sabe si lo
que se dice es verdadero o falso " , o algo así, (no la recuerdo de
memoria y no la encuentro en el interné). Y esto es por que es una
ficción. Una creación humana. Una herramienta simbólica. Y la paradoja o
paradojas son inevitables, desde lo más básico: la teoría de conjuntos
(una teoría llena de paradojas en sus inicios y que tuvo que ir
implementándose, creando "axiomas" adecuados para eliminarlas todas. Una
de las primeras paradojas, por cierto fue la del propio creador de la
teoría, la paradoja de Cantor, y otra famosísima es la paradoja de
Russell, insto a quien tenga curiosidad que las busque en interné, que
éstas seguro que vienen *(ver nota) .) hasta las teorías más complejas
de la lógica matemática, se encuentran cosas indecidibles en
matemáticas.
Kurt Gödel fue el que se encargó de joder los sueños
dogmáticos de Hilbert y Russell ,entre otros, enunciando su famoso
Teorema de la incompletitud... "toda teoría aritmética recursiva que sea
consistente es incompleta". Ahí dejo enlace para los curiosos:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del .
*NOTA: para los vaguetes ya os las escribo yo
PARADOJA DE RUSSELL
(en su versión conocida como Paradoja del Barbero, que es la más amena y
poética de cuantas paradojas de teorías de conjuntos se han escrito)
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas.
Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y
ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no
pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para
que lo afeitara y él le contó sus angustias:
—En mi pueblo soy el
único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!,
ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto
¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces
algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El
emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con
la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió
para siempre feliz.
PARADOJA DE CANTOR: Sea C el conjunto
de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así mismo un
elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C;
pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o
igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor,
la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto
potencia. Así pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva
a una contradicción.
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